Cho tứ diện ABCD có BC = a, AC = b, AB = c, AD = d, BD = e, CD = f và thể tích V.

• Công thức tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh:

V = 1 12 a 2 d 2 ( b 2 + e 2 + c 2 + f 2 − a 2 − d 2 ) + b 2 e 2 ( a 2 + d 2 + c 2 + f 2 − b 2 − e 2 ) + c 2 f 2 ( a 2 + d 2 + b 2 + e 2 − c 2 − f 2 ) − ( a b c ) 2 − ( a e f ) 2 − ( b d f ) 2 − ( c d e ) 2 {\displaystyle V={\frac {1}{12}}{\sqrt {a^{2}d^{2}(b^{2}+e^{2}+c^{2}+f^{2}-a^{2}-d^{2})+b^{2}e^{2}(a^{2}+d^{2}+c^{2}+f^{2}-b^{2}-e^{2})+c^{2}f^{2}(a^{2}+d^{2}+b^{2}+e^{2}-c^{2}-f^{2})-(abc)^{2}-(aef)^{2}-(bdf)^{2}-(cde)^{2}}}} Công thức Euler.

• Công thức tính góc giữa 2 cạnh đối:

c o s ( A B → , C D → ) = a 2 + d 2 − b 2 − e 2 2 c f {\displaystyle cos({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CD}})={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-e^{2}}{2cf}}}

• Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau:

d ( A B , C D ) = 12 V 4 c 2 f 2 − ( a 2 + d 2 − b 2 − e 2 ) 2 {\displaystyle d(AB,CD)={\frac {12V}{\sqrt {4c^{2}f^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-e^{2})^{2}}}}}

• Công thức tính góc nhị diện: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích hai tam giác BCD, ACD. Ta có:

c o s [ C D ] = f 2 ( a 2 + e 2 + b 2 + d 2 − f 2 − 2 c 2 ) − ( a 2 − e 2 ) ( b 2 − d 2 ) 16 S 1 S 2 {\displaystyle cos[CD]={\frac {f^{2}(a^{2}+e^{2}+b^{2}+d^{2}-f^{2}-2c^{2})-(a^{2}-e^{2})(b^{2}-d^{2})}{16S_{1}S_{2}}}}

• Công thức xác định đường vuông góc chung:

Đường vuông góc chung của AB và CD cắt AB tại I. Đặt A I → = k A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AI}}=k{\overrightarrow {AB}}} . Khi đó:

k = f 2 ( 2 c 2 + b 2 + d 2 − a 2 − e 2 ) + ( b 2 − d 2 ) ( a 2 − e 2 − b 2 + d 2 ) 4 c 2 f 2 − ( a 2 + d 2 − b 2 − e 2 ) 2 {\displaystyle k={\frac {f^{2}(2c^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-e^{2})+(b^{2}-d^{2})(a^{2}-e^{2}-b^{2}+d^{2})}{4c^{2}f^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-e^{2})^{2}}}}

• Thể tích V của tứ diện SABC có SA = a, SB = b, SC = c và các góc B S C ^ = α , A S C ^ = β , A S B ^ = γ {\displaystyle {\widehat {BSC}}=\alpha ,{\widehat {ASC}}=\beta ,{\widehat {ASB}}=\gamma } :

V = a b c 6 1 + 2 c o s α . c o s β . c o s γ − c o s 2 α − c o s 2 β − c o s 2 γ {\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2cos\alpha .cos\beta .cos\gamma -cos^{2}\alpha -cos^{2}\beta -cos^{2}\gamma }}}